Ôn tập toán hình học lớp 9 học kì 1

BÀI 1 :
Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh :

AH vuông góc BC (tại F thuộc BC).
FA.FH = FB.FC.
bốn điểm A, E, H, D cùng nằm trên một đường tròn , xác định tâm I của đường tròn này.
IE là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Giải.

1. AH vuông góc BC :
𝛥 DBC nt (O) đường kính BC (gt)
=> 𝛥 DBC vuông tại D
=> BD $\bot$ CD hay BD $\bot$ AC.
Cmtt : CE $\bot$ AB
Xét tam giác ABC có :
CE $\bot$ AB (cmt) => CE đường cao thứ nhất.
BD $\bot$ AC (cmt) => BD đường cao thứ hai.
hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)
= > H là trực tâm của tam giác ABC
= > AH là đường cao thứ ba.
= > AH $\bot$ BC tại F.
2. FA.FH = FB.FC :
Xét 𝛥 FAB và 𝛥 FCH, ta có :
$\widehat{BFA} =\widehat{CFH} =90^0$ (cmt)
$\widehat{A_1} +\widehat{ABC} =90^0$ (𝛥 FAB vuông tại F)
$\widehat{C_1} +\widehat{ABC} =90^0$ (𝛥 FAC vuông tại F)
=> $\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (1)
=> 𝛥 FAB đồng dạng 𝛥 FCH
=> $\frac{FA}{FC} =\frac{FB}{FH}$
=> FA.FH = FB.FC
3.A, E, H, D nằm trên đường tròn
Xét ΔAEH vuông tại E (gt)
= > ΔAEH nội tiếp đường tròn đường kính AH (1).
Hay A, E, H nằm trên đường tròn đường kính AH(1).
Xét ΔADH vuông tại D (gt)
= > ΔADH nội tiếp đường tròn đường kính AH
Hay A, D, H nằm trên đường tròn đường kính AH(2).
Từ (1) và (2) : A, E, H, D nằm trên đường tròn đường kính AH .
Suy ra : tâm I là trung điểm AH.
4. IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Xét Δ AEI, ta có : IA = IE (bán kính)
=> Δ AEI cân tại I
=> $\widehat{A_1}=\widehat{E_1}$ (2)
Cmtt, ta được : $\widehat{C_1}=\widehat{E_3}$ (3)
Từ (1), (2) và (3), ta được : $\widehat{E_1}=\widehat{E_3}$
Mà : : $\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=90^0$
=> $\widehat{E_3}+\widehat{E_2}=90^0$
Hay : $\widehat{IEO}=90^0$
=> IE $\bot$ EO tại E
Mà : E thuộc (O)
Vậy : IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
—————————————————————————————-
BÀI 2 :
Trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O; R) lấy điểm M. gọi điểm B của đường tròn (O; R) sao cho MB = MA

Chứng minh : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Cho OM = 2R. chứng minh : tam giác ABC đều. tính độ dài và các cạnh và diện tích của tam giác AMB theo R.
Vẽ đường kính BE của (O). chứng minh : AE // OM.

Giải.

1. MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Xét 𝛥AOM và 𝛥BOM, ta có :

MA = MB (gt)

OA = OB (bán kính)

OM cạnh chung.

=> 𝛥AOM = 𝛥BOM
=> $\widehat{MBO} =\widehat{MAO}$
Mà : $\widehat{MAO}=90^0$ (MA tiếp tuyến của (O))
=> $\widehat{MBO} =90^0$

Hay MB $\bot$ OB tại B

Mà : điểm B của đường tròn (O; R)

Vậy : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
2. OM = 2R :

Xét 𝛥AOM vuông tại A, ta có :

sin OMA = OA : OM = ½

=> $\widehat{OMA} = 30^0$

Mặt khác : $\widehat{AMB} =2\widehat{OMA} = 60^0$ (tính chất hai tt cắt nhau)

Xét 𝛥ABM, ta có : MA = MB (gt)

=> 𝛥ABM cân tại M

Mà : $\widehat{AMB} = 60^0$ (cmt)

=> 𝛥ABM đều.

Xét 𝛥 vuông tại A, theo định lí ta có :

OM² = MA² + 0B²

(2R)² = MA² + R²

=> MA = $R \sqrt{3}$

Diện tích S_AOM = MA². $\frac{\sqrt{3} }{2}$ = $\frac{3\sqrt{3}R^2 }{2}$ (dvdt)

3. chứng minh : AE // OM :
ta có :

MA = MB (gt)

OA = OB (bán kính)

=> MO là đường trung trực AB

=> OM $\bot$ AB (1)

Xét 𝛥ABE nội tiếp (O), có : BE là đường kính

=> 𝛥ABE vuông tại A

=> AE $\bot$ AB (2)

Từ (1) và (2) => AE // OM.
———————————————————————————-
Bài 3 :
Cho nữa đường tròn (O; R) có đường kính AB. tiếp tuyến tại điểm M trên nữa đường tròn lần lượt cắt hai tiếp tuyến tại A và B ở C và D.

Chứng minh : AC + DB = CD.
Chứng minh : tam giác COD vuông và AC.BD = R².
OC cắt AM tại E và OD cắt BM tại F. chứng minh :
1. Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.
2. OE.OC = OF.OD = R².
3. EF $\bot$ BD.
4. Chứng minh : AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.
5. AD cắt BC tại N. chứng minh : MM // AC.

Giải.

Chứng minh : AC + DB = CD.

Ta có :

CA = CM (tính chất hai tt cắt nhau)
DB = DM (tính chất hai tt cắt nhau)
CD = CM + MD
=> AC + DB = CD.
2. tam giác COD vuông và AC.BD = R².
Ta có :
OD là tia phân giác góc BOM (tính chất hai tt cắt nhau)
OC là tia phân giác góc COM (tính chất hai tt cắt nhau)
Mà : góc BOM và góc COM kề bù.
=> OC $\bot$ OD tại O.
Hay 𝛥COD vuông tại O.
Trong 𝛥COD vuông tại O, có đường cao OM. hệ thức lượng :
MC.MD = OM² = R²
Hay : AC.BD= R² (CA = CM và DB = DM)
3.a Tứ giác OEMF là hình chữ nhật :
Ta có :
CA = CM (cmt)
OA = OM ( bán kính)
=> CO là đường trung trực của AM
=> CO $latex $ AM tại E, EA = EM
=> $\widehat{MEO} =90^0$
Cmtt , ta được : $\widehat{MFO} =90^0$
Tứ giác OEMF, ta có :
$\widehat{MEO} =\widehat{MFO}=\widehat{FOE}=90^0$ (cmt)
=> Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.
Trong 𝛥COM vuông tại M, có đường cao ME. hệ thức lượng :
OC. OE = OM² = R²
Cmtt : OD. OF = OM² = R²
=> OE.OC = OF.OD = R².
EF $\bot$ BD.
Xét 𝛥ABM, ta có :
EA = EM (cmt)
FB = FM (cmt)
=> EF là đường trung bình
=> EF // AB
Mà AB $\bot$ BD (tính chất tt)
=> EF $\bot$ BD.
4. AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.

trong 𝛥COD vuông tại O (cmt)
=> 𝛥COD nội tiếp đường tròn (I) đường kính CD
=> IC = ID.
Mặt khác : CA // BD (cùng vuông góc AB)
=>Tứ giác ABDC là hình thang.
Xét hình thang ABDC, ta có :
IC = ID (cmt)
OA = OB (AB là đường kính (O))
=> IO là đường trung bình
=> IO // CA
Mà CA $\bot$ AB
=> IO $\bot$ AB tại O
Mà : điểm O thuộc (I)
=> AB là tiếp tuyến của (I) đường kính CD
5. NM // AC
Ta có :
AC // BD (cmt)
=> $\frac{NA}{AC} = \frac{ND}{BD}$ (định lí talet thuận)
MÀ : CA = CM và DB = DM (cmt)
=> $\frac{NA}{CM} = \frac{ND}{MD}$
=> NM // AC (định lí talet đảo)
==============================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 ( 3,5 điểm) :
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

Chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn . xác định tâm I của đường tròn đó.
Chứng minh AH vuông góc BC.
Cho góc A = 60⁰, AB = 6cm. tính BD.
Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Bài 2 ( 4 điểm) :
Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên cung AB sao cho AB < AC.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Qua A vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O), BC cắt (d) tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến (d’) với đường tròn (O), (d’) cắt (d) tại D. Chứng minh : DA =DF.

c) Hạ CH vuông góc AB (H thuộc AB), BD cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm CH.

d) Tia AK cắt DC tại E. Chứng minh EB là tiếp tuyến của (O) , suy ra OE // CA.

Bài 3 :
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R . Vẻ các tiếp tuyến AB ; AC với (O) ( B ; C là các tiếp điểm )

a) C/m: Tam giác ABC đều

b) Từ O kẻ đường vuông góc vớiOBcắt AC tại S . C/m : SO = SA

c) Gọi I là trung điểm của OA . C/minh SI là tiếp tuyến của (O)

d) Tính độ dài SI theo R

Bài 4 : (4 đ)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.H là trung điểm của OB.Qua H vẽ dây CD vuông
góc vơi AB.

a) Chứng minh tam giác OCB đều.

b) Tính đô dài AC và CH theo R.

c) Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở I.Chứng tỏ 3 điểm O,B,I thẳng hàng và

4HB.HI = 3R²

d) Đường vuông góc với AD kẻ từ H cắt CB ở E.OE cắt CI tại K.Chứng minh KB

là tiếp tuyến của (O) và B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD.
Bài 5 : (3,5 điểm)
Từ một điểm A ở ngoài (O; R), kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng qua B và vuông góc với AO tại H cắt (O) tại C. Vẽ đường kính BD của (O).

a) Chứng minh ΔBCD vuông.

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).

c) Chứng minh DC. AO = 2R² .

d) Biết OA = 2R. Tính diện tích ΔBCK theo R.

Bài 5.
Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A và B là hai tiếp điểm),OMcắt AB tại H.
1)    Chứng minh H là trung điểm của AB.
2)    Trên đường thẳng AB lấy điểm N (với A nằm giữa B và N). Từ M kẻ một đường thẳng vuông góc với ON tại K và cắt AB tại I. Chứng minh 5 điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
3)    Chứng minh : NA.NB = NI.NH
4)    Tia MK cắt đường tròn (O) tại C và D (với C nằm giữa M và D). Chứng minh NC và ND là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).
bài 6 : (3,5đ)
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm)
a)      Chứng minhOM┴ AB. Tính MA theo R.
b)      Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân.
c)      Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J.
Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi.
d)     Tính diện tích AJIB theo R.
BÀI 7 :
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm)
e)      Chứng minhOM┴ AB. Tính MA theo R.
f)       Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân.
g)      Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J.
Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi.
h)      Tính diện tích AJIB theo R.

1 nhận xét:

Unknownlúc 22:21 9 tháng 12, 2013
Thay cho e hoi bai sau day a
Cho (O,R) đường kinh AB. Ve các tiếp tuyến tại E cắt Ax và By lần lượt tại C,D.
a) CM: CD =AC+BD. b) Vẽ EF vuông góc với AB tại F, BE cắt AC tại K. CM: AF.AB=EK.EB. c)EF cắt CB tại I, CM: FE là tia phân giác của CFE. d) EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N. CM: M,N,I thẳng hàng
E cam on thay rat nhieu.
Chuc thay suc khoe
Trả lờiXóa
Trả lời

Thêm nhận xét

Toán học phổ thông - SGK

Gia sư toán - lý - hóa tp Hồ Chí Minh

Thứ Hai, 1 tháng 10, 2012