Bài 2 : ĐƯỜNG KÍNH – DÂY CUNG của đường tròn

Bài 2 :

ĐƯỜNG KÍNH – DÂY CUNG của đường tròn

Định lí 1 :

 Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Định lí 2 :

Trong đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây ấy.

Định lí 3 :

Trong đường tròn, đường kính đi qua trung điểm với một dây không qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

==============================================

BÀI TẬP SGK

BÀI 10 TRANG 104 :
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE 

1. Chứng minh bốn Điểm B, E,  D, C cùng thuộc một đường tròn
2. Chứng minh DE < BC.

GIẢI.

 1.B, E,  D, C nằm trên đường tròn

Xét  ΔBCE vuông tại E (gt)
= > ΔBCE nội tiếp đường tròn đường kính BC (1).
Hay B, E, C nằm trên đường tròn đường kính BC(1).
Xét  ΔBCD vuông tại D (gt)
= > ΔBCD nội tiếp đường tròn đường kính BC
Hay D, B,C  nằm trên đường tròn đường kính BC (2).

Từ (1) và (2) : B, E, D, C nằm trên đường tròn đường kính BC .

2.Chứng minh DE < BC . 

Xét đường tròn đường kính BC, ta có :

DE là dây cung (D, E nằm trên đường tròn đường kính BC  )

=> DE < BC (định lí )

BÀI 10 TRANG 104 :
Kẻ đường kính OM CD tại M
=> MC = MD
AH  // OM // BK (cùng vuông góc CD)
Xét tứ giác ABKH, ta có :
AH  // BK (cmt)
=> tứ giác ABKH là hình thang.
Xét hình thang ABKH, ta có :
OA = OB (AB là đường kính)
AH  // OM // BK (cmt)
=> MH = MK
Hay HC + CM = MD + DK
MÀ : MC = MD (cmt)
=> CH = DK.

BÀI 2 :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh :

a) BHCD là hình bình hành.

b) Kẻ đường kính OI vuông góc BC tại I, chứng minh : I, H, D thẳng hàng.

c) AH = 2OI

giải.

a) BHCD là hình bình hành.
Xét 𝛥 ACD nt đường tròn (O) đường kính AD
=> 𝛥 ACD vuông tại C
=> CD AC
Mà : BH AC (H là trực tâm)
=> CD // BH (cùng vuông góc AC)
Cmtt, ta được : BD // CH
Xét tứ giác BHCD , ta có :
BHCD là hình bình hành
CD // BH (cmt)
BD // CH (cmt)
tứ giác BHCD là hình bình hành.
b)I, H, D thẳng hàng.
đường kính OI BC tại I
=> IB = IC
Mà : hai đường chéo HD và BC của hình bình hành BHCD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
=> IH = ID
Hay I, H, D thẳng hàng.
c) AH = 2OI
Xét 𝛥 ABC có H là trực tâm
=> AH BC
Mà : OI BC
=> OI // AH
Xét 𝛥 AHD, ta có :
OA = OD (AD là  đường kính của (O))
OI // AH (cmt)
=> OI là đường trung bình trong 𝛥 AHD
=> AH = 2OI

 =================================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 :
Cho đường tròn (O) có AB là đường kính. Vẽ hai dây AD và BC song song nhau. Chứng minh rằng :

a)      AD = BC.

b)      CD là đường kính của (O).

BÀI 1 :
Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a)      Chứng minh rằng : B, D, C, E cùng nằm trên đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.

b)      Chứng minh rằng : AB .AE = AC.AD

c)      Gọi K là điểm đối xứng của H qua I. chứng minh rằng : BHCK là hình bình hành.

d)     Xác định tâm I của đường tròn qua A, B, K, C.

e)      Chứng minh rằng : OI  AH.

BÀI 3 :
Cho điểm A nằm trên đường tròn (O) có CB là đường kính (AB < AC). Vẽ dây AD vuông góc BC tại H.

a)      Chứng minh : tam giác ABC vuông tại A.

b)      H là trung điểm AD;  AC = CD; BC là tia phân giác góc ABD.

c)