Bài 1 Sự xác định của đường tròn – tính chất đối xứng của đường tròn.

Bài 1

Sự xác định của đường tròn – tính chất đối xứng của đường tròn.

1. Định nghĩa :

Đường tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm cách đều một điểm O một khoảng R.

Kí hiệu : (O; R)
Vị trí tương đối của một điểm và đường tròn :

M thuộc đường tròn (O; R) khi : OM = R.

D nằm trong đường tròn (O; R) khi : OD <  R.

C nằm ngoài đường tròn (O; R) khi : OC > R.

Cách xác định của đường tròn :

Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

2. Tâm đối xứng :

Đường tròn là hình có tâm đối xứng. tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

3. Trục đối xứng :

Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.

4. Định lí :

a)      tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b)      nếu một tam giác có cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì tam giác đó là tam giác vuông.

======================================

BÀI TẬP SGK :

Bài 1  trang 99 :
Ta có : hình chữ nhật ABCD suy ra :
Hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O mỗi đường
=> OA  = OB = OC = OD
=> A, B, C, D thuộc đường tròn (O). (Định nghĩa )
Áp dụng định lí pitago vào ABD vuông tại A :
BD² = AB² + AD² = 12² + 5² = 169
=> BD = 13cm.
Bán kính R = OB = BD : 2 = 13 : 2 = 6,5cm.
————————————————————————————————
BÀI 9 TRANG 157 SBT :
Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn(O) đường kính BC, nó cắt cạnh AB, AC theo thứ tự tại D, E. chứng minh :
a)      CD AB; BE   AC.
b)      Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng : AK vuông góc BC.

Giải.

a)CD AB; BE   AC:
Xét 𝛥 DBC, ta có :
𝛥 DBC nt (O) đường kính BC (gt)
=> 𝛥 DBC vuông tại D
=> BD  CD hay CD AB.
Cmtt : BE   AC
b) AK BC :
Xét tam giác ABC có :
CD AB (cmt) => CD đường cao thứ nhất.
BE   AC (cmt) => BE đường cao thứ hai.
hai đường cao BD và CE cắt nhau tại K (gt)
= > K là trực tâm của tam giác ABC
= > AK là đường cao thứ ba.
= > AK BC.

======================================

BÀI TẬP BỔ SUNG :

BÀI 1 :

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

1. Chứng minh bốn diểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn . xác định tâm I của đường tròn đó.
2. Chứng minh AH vuông góc BC.

GIẢI.

 1.A, E, H, D nằm trên đường tròn

Xét  ΔAEH vuông tại E (gt)
= > ΔAEH nội tiếp đường tròn đường kính AH (1).
Hay A, E, H nằm trên đường tròn đường kính AH(1).
Xét  ADH vuông tại D (gt)
= > ΔADH nội tiếp đường tròn đường kính AH
Hay A, D, H nằm trên đường tròn đường kính AH(2).

Từ (1) và (2) : A, E, H, D nằm trên đường tròn đường kính AH .

Suy ra : tâm I là trung điểm AH.

2.Chứng minh AH vuông góc BC. 

Xét tam giác ABC có :

hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

= > H là trực tâm của tam giác ABC

= > AH là đường cao

= > AH BC

————————————————————————-

BÀI 2 :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh :

 BHCD là hình bình hành.

giải.

 BHCD là hình bình hành.
Xét 𝛥 ACD nt đường tròn (O) đường kính AD

=> 𝛥 ACD vuông tại C

=> CD AC

Mà : BH AC (H là trực tâm)

=> CD // BH (cùng vuông góc AC)
Cmtt, ta được : BD // CH
Xét tứ giác BHCD , ta có :
BHCD là hình bình hành

 CD // BH (cmt)

BD // CH (cmt)

tứ giác BHCD là hình bình hành.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 :
Cho hình thang cân ABCD ( AB//DC) biết CD= 10cm, BC = 8cm,BD = 6cm. Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc đường tròn.