ÔN TẬP TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8 HKI

BÀI 1 : Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, AC.
Vẽ điểm M là điểm đối xứng của điểm B qua điểm F và điểm N là điểm đối xứng của điểm E qua điểm D.1) Chứng minh:

a/ Tứ giác BCFD là hình thang cân.

b/ Tứ giác ADEF là hình thoi.

c/ Tứ giác ABCM là hình bình hành.

d/ Tứ giác ANBE là hình chữ nhật.

GIẢI.

a/ Tứ giác BCFD là hình thang cân.
Xét 𝛥ABC, ta có :

DA = DB (gt)

FA = FC (gt)

=> DF là đường trung bình trong 𝛥ABC.
=> DF // BC
=> Tứ giác BCFD là hình thang
Mà : $\widehat{ABC} =\widehat{ACB}$ (𝛥ABC cân tại A)
=> hình thang BCFD là hình thang cân.

b / Tứ giác ADEF là hình thoi :
Ta có :

AB = AC (gt)

AD = AB : 2 (gt)

AF = AC : 2 (gt)

=> AD = AF = AC : 2 = AB : 2 (1)

Xét ΔABC, ta có :

DA = DB (gt)

EB = EC (gt)

=> DE là đường trung bình

=> DE = AC : 2 (2)
Cmtt, ta được : EF = BA : 2 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta được : AD = AF = DE = EF
Vậy tứ giác ADEF là hình thoi.
c/ Tứ giác ABCM là hình bình hành :
Xét Tứ giác ABCM, ta có :

FB = FM (M là điểm đối xứng của điểm B qua điểm F)

FA = FC (gt)

Mà hai đường chéo BM và AC cắt nhau tại F.

=>Tứ giác ABCM là hình bình hành.
d/ Tứ giác ANBE là hình chữ nhật :
Xét ΔABC cân tại A, ta có :

EB = EC (gt)

=>AE là đường trung tuyến trong tam giác cân cũng là đường cao.

=> AE $\bot$ BC hay $\widehat{AEB} =90^0$
Xét Tứ giác ANBE, ta có :
Xét Tứ giác ABCM, ta có :

DE = DN (N là điểm đối xứng của điểm E qua điểm D)

DA = DB (gt)

Mà hai đường chéo EN và AB cắt nhau tại D.

=>Tứ giác ANBE là hình bình hành.
Mà : $\widehat{AEB} =90^0$ (cmt)
Nên : hình bình hành ANBE là hình chữ nhật.
————————————————————————————————
BÀI 2 :
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
a/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình bình hành.
b/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình thoi.
c/ Nếu AC $\bot$ BD thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

Giải

Tứ giác MNPQ làhình bình hành :

Xét ABD, ta có :

MA = MB (gt)

QA = QD (gt)

=> MQ là đường trung bình.
=> MQ // BD và MQ = BD : 2 (1)
Cmtt, ta được :

NP // BD và NP = BD : 2 (2)

NM // AC và NM = AC : 2 (3)

Từ (1) và (2) : MQ // NP và MQ = PP
=> Tứ giác MNPQ làhình bình hành.
b/Tứ giác MNPQ làhình thoi.
ta có :

AC = BD ( hai đường chéo hình thang cân ABCD)

NM = AC : 2 (cmt)

MQ = BD : 2 (cmt)

=> NM = MQ
Xét hình bình hành MNPQ, ta có :
NM = MQ (cmt)
=> hình bình hành MNPQ là hình thoi.
c/Nếu AC $\bot$ BD thì tứ giác MNPQ là hình gì?

Nếu AC $\bot$ BD

NM // AC (cmt)

NP // BD (cmt)

=> NM $\bot$ NP tại N
Hay $\widehat{MNP} =90^0$
Xét hình thoi MNPQ , ta có : $\widehat{MNP} =90^0$ (cmt)
=> hình thoi MNPQ là hình vuông.
——————————————————————————————————–
BÀI 3 :
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường trung tuyến AO. Trên tia đối của tia OA lấy điểm D sao cho OD = OA.

Chứng minh : ABDC là hình chữ nhật.
Từ B kẻ BH vuông góc AD tại H, Từ C kẻ CK vuông góc AD tại K. chứng minh BH = CK và BK // CH.
Tia BH cắt CD ở M, tia CK cắt AB ở K. chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.
Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AD. Chứng minh $\widehat{DCE}=45^0$

GIẢI.

1. ABDC là hình chữ nhật :
Xét tứ giác ABDC, ta có :
OB = OC (đường trung tuyến AO của ABC)
OA = OD (gt)
=> tứ giác ABDC là hình bình hành
Mà : $\widehat{}=90^0$ (gt)
=> hình bình hành ABDC là hình chữ nhật
2. BH = CK và BK // CH :
Xét 𝛥HOB và 𝛥OC, ta có :
$\widehat{BHO}=\widehat{CKO}=90^0$ (gt)
OB = OC (cmt)
$\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$ (đối đỉnh)
=> 𝛥HOB = 𝛥OC
=> OH = OK (cạnh tương ứng)
Xét tứ giác BHCK, ta có :
OH = OK (cmt)
OB = OC (cmt)
Mà hai đường chéo BC và HK cắt nhau tại O
=> tứ giác BHCK là hình bình hành
=> BH = CK và BK // CH
3. chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.
Xét tứ giác BMCN, ta có :
BM // CN (cùng vuông góc AD)
BN // CM
=> tứ giác BMCN là hình bình hành
=> hai đường chéo BC và NM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà : OB = OC (cmt)
=> OM = ON
Hay N, O, M thẳng hàng.
4. Chứng minh $\widehat{DCE}=45^0$
Ta có :
BC = AD (hai đường chéo của hình chữ nhật ABDC )
BE = AD (gt)
=> BE = BC
=> tam giác EBC cân tại B
=> $\widehat{BCE}=\widehat{BEC}$
Mà : $\widehat{ECN}=\widehat{BEC}$ (so le trong)
=> $\widehat{ECN}=\widehat{BCE}$ (1)
Mặt khác : OD = OC (O là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật)
=> tam giác COD cân tại O
=> $\widehat{DCB}=\widehat{ADC}$
Mà : $\widehat{ADC}=\widehat{NCA}$ (cùng phụ với góc DAC)
=> $\widehat{ NCA }=\widehat{DCB}$ (2)
Cộng (1) và (2), ta được :
$\widehat{ NCA }+\widehat{ECN}=\widehat{DCB}+\widehat{BCE}$
=> $\widehat{ECA}=\widehat{DCE}$
=> CE là tia phân giác góc ACD
=> $\widehat{DCE}=\widehat{ACD} : 2= 45^0$

======================================================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 :
Cho tam giác ABC vuông ở C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AB . Gọi P là điểm đối xứng của M qua N .

a / Chứng minh :Tứ giác MBPA là hình bình hành.

b / Chứng minh : Tứ giác PACM là hình chữ nhật .

c / CN cắt PB ở Q . Chứng minh BQ = 2 PQ

d / Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì hình chữ nhật PACM là hình vuông .

BÀI 2 :
Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm AB và N là trung điểm CD.
a/ Chứng minh : tứ giác AMND là hình bình hành.
b/ Chứng minh : tứ giác AMCN là hình bình hành.
c/ Chứng minh : AC, BD, MN đồng quy.
d/ Hình bình hành ABCD có điều kiện gì thì tứ giác AMND là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
BÀI 3 :
Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và BC.

a.Chứng minh tứ giác ADEC là hình thang

b.Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho DF = DE.Chứng minh tứ giác AEBF là hình bình hành.

c.Với điều kiện nào của tam giác ABC để AEBF là hình vuông?.

BÀI 4 :
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.Biết AC vuông góc BD
a/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình bình hành.
b/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình thoi.
c/ Nếu AC vuông góc BD thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
BÀI 5 :
Cho DABC vuông tại A, vẽ trung tuyến AM.

Nếu cho AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng AM.
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh tứ giác AEMD.
Gọi F là điểm đối xứng của điểm E qua D. Tứ giác EFBC làhình gì? Chứng minh.
DABC cần có thêm điều điện gì thì AEMDlà hình vuông?

Toán học phổ thông - SGK

Gia sư toán - lý - hóa tp Hồ Chí Minh

Thứ Bảy, 29 tháng 9, 2012