BÀI 3 :TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ

BÀI 3

TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ

–o0o–

1. Định nghĩa :
Với k ≠ 0 và $\overrightarrow {a}$ ≠ 0.
Ta có : $k. \overrightarrow {a}=\overrightarrow {a}+\ldots+\overrightarrow {a}$ với k hạng tử.

Nếu k > 0 thì : $k. \overrightarrow {a}$ cùng hướng $\overrightarrow {a}$ .
Nếu k < 0 thì : $k. \overrightarrow {a}$ ngược hướng $\overrightarrow {a}$ .

Quy ước :

$0. \overrightarrow {a}=\overrightarrow {0}$
$k. \overrightarrow {0}=\overrightarrow {0}$

2. Tính chất :

$k(\overrightarrow {a} + \overrightarrow {b}) = k\overrightarrow {a} + k\overrightarrow {b}$ .
$(k+h)\overrightarrow {a} = k\overrightarrow {a} + h\overrightarrow {a}$ .
$h(k \overrightarrow {a}) = (hk) \overrightarrow {a}$ .
$1. \overrightarrow {a} = \overrightarrow {a}$ .
$(-1). \overrightarrow {a} = -\overrightarrow {a}$ .

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác :

I là Trung điểm của đoạn thẳng AB , mọi M : $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI}$ .
G trọng tâm tam giác ABC , mọi M : $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} +\overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$ .

4. Điều kiện hai vectơ cùng phương :
$\overrightarrow {a} // \overrightarrow {b}$ <=> $\overrightarrow {a} = k\overrightarrow {b}$
Lưu ý : A, B C thẳng hàng khi : $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$
5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương :
$\overrightarrow {x}= k\overrightarrow {a} + k\overrightarrow {b}$ với $\overrightarrow {a} , \overrightarrow {b}$ không cùng phương.

=======================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 1 TRANG 17 SGK CB :
Cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng :
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} +\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC}$

GIẢI.

Ta có : ABCD là hình bình hành => $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$
Ta lại có :
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} +\overrightarrow {AD}=(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AD})+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AC} =2\overrightarrow {AC}$ -> đpcm.
BÀI 2 TRANG 17 SGK CB :
Cho AK , BM là hai đường trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow {AB}$ , $\overrightarrow {BC}$ . $\overrightarrow {CA}$ , theo $\overrightarrow {u}=\overrightarrow {Ak}$ và $\overrightarrow {v}=\overrightarrow {BM}$
GIẢI.
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AK}= 2\overrightarrow {u}$ (AK là đường trung tuyến)
$\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM}=2\overrightarrow {v}$ (BM là đường trung tuyến)
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc 3 điểm)
Ta được :
$-\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {v}$
$2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {u}$
Vậy :
$\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v})$
$\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {u}+\frac{4}{3}\overrightarrow {v}$
=> $\overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {u}+\frac{2}{3}\overrightarrow {v}$
=> $\overrightarrow {CA} =-(\frac{4}{3}\overrightarrow {u}+\frac{2}{3}\overrightarrow {v})$
——————————————————
BÀI 6 TRANG 17 SGK CB :
Cho hai điểm A và B phân biệt. tìm K sao cho :
$3\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {0}$

GIẢI.

Cách 1 :
$3\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {0}$
<=> $3(\overrightarrow {KB}+\overrightarrow {BA})+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow {0}$ (quy tắc 3 điểm)
<=> $5\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {BA}=\overrightarrow {0}$
<=> $-5\overrightarrow {KB} = 3\overrightarrow {BA}$
<=> $5\overrightarrow {BK} = 3\overrightarrow {BA}$
Vậy : $\overrightarrow {BK} = \frac{3}{5}\overrightarrow {BA}$ . A |——|——|-K—-|——|——| B
Cách 2 :
$3\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {0}$
<=> $3\overrightarrow{KA} + 2(\overrightarrow {KA}+\overrightarrow {AB}) = \overrightarrow {0}$ (quy tắc 3 điểm)
<=> $5\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {0}$
<=> $-5\overrightarrow {KA} = 2\overrightarrow {AB}$
<=> $5\overrightarrow {AK} = 2\overrightarrow {AB}$
Vậy : $\overrightarrow {AK} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB}$ . A |——|——|-K—-|——|——| B

Toán học phổ thông - SGK

Gia sư toán - lý - hóa tp Hồ Chí Minh

Thứ Sáu, 28 tháng 9, 2012